Matemáticas de Sexto a Noveno

Factorización :

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

$ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,$

$ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \,$ y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

$5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,$

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

$(5x^2 + 3x +7) \,$

La respuesta es:

$(5x^2+3x+7)(x-y) \,$

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

$5a^2(3a+b) +3a +b \,$

Se puede utilizar como:

$5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,$

Entonces la respuesta es:

$(3a+b) (5a^2+1) \,$

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

$2y + 2j +3xy + 3xj\,$

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

$= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,$

Aplicamos el caso I (Factor común)

$= 2(y+j)+3x(y+j)\,$

$= (2+3x)(y+j)\,$

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,$

Ejemplo 1:

$(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,$

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

$(ay)^2-(bx)^2= (ay-bx)(ay+bx)\,$

O en una forma más general para exponentes pares:

$(ay)^{2n}-(bx)^{2m}= ((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m)\,$

Y utilizando una productora podemos definir una Factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

$(ay)^n-(bx)^m= ((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})\cdot \prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}}) \,$

Ejemplo 1:

$9y^2-4x^2= (3y)^2-(2x)^2= (3y+2x)(3y-2x)\,$

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

$x^2+xy+y^2=x^2+xy+y^2+(xy-xy)=x^2+2xy+y^2-xy=(x+y)^2-xy\,$

Caso VI - Trinomio de la forma x² + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

$a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,$

Ejemplo:

$x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)\,$

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-... + xy^{n-2}-y^{n-1}) \,$

Ejemplo:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \,$

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

$x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2 +... +xy^{n-2}+y^{n-1}) \,$

Ejemplo:

$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \,$

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \,$

Caso VIII - Trinomio de la forma ax² + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

$4x^2+12x+9\,$

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término(4x²) :

$4x^2+12x+(9\cdot4)\$

$4x^2+12x+36\,$

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

$6\cdot6=36$

$6+6=12\,$

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

$(4x+6)(4x+6)\,$

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x² :

$\frac{(4x+6)(4x+6)}{4}\,$ : $=\frac{(4x+6)}{2}\cdot \frac{(4x+6)}{2}\,$

Queda así terminada la factorización :

$(2x+3)(2x+3)\,$ : $=(2x+3)^2\,$

Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,$

Fracciones algebraicas:Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:

$fraccion_algebraica_001$

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si $fraccion_alegraica_003$ se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

$fraccion_alebraica_004$

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.

Por ejemplo, simplificar:

$fraccion_algebraica_002$

Otro ejemplo, simplificar la fracción

$fraccion_algebraica_005$

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

$fraccion_algebraica_006$

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

$fraccion_algebraica_007$

Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.

Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

$fraccion_algebraica_008$

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:

$fraccion_algebraica_009$

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.

Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).

Para calcular el m.c.m. factorizamos

5ab	a²	15b²	a
5b	a	15b²	a
5b	1	15b²	b
5	1	15b	b
5	1	15	5
1	1	3	3
1	1	1

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a² • b² • 15 que es lo mismo que 15a²b² y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:

Previamente, dividimos el denominador común (15a²b²) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:

$fracciones_algebraicas_010$

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a²b²) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

$fraccion_algebraica_011$

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.

Un ejemplo más:

Sumar $fraccion_alegeraica_012$

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)

Hacemos

$fraccion_algebraica_013$

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos qué significa esto:

Sea $fraccion_algebraica_014$ una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra $fraccion_algebraica_015$ , entonces: $fraccion_algebraica_016$

Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas

Multiplicar

$fraccion_algebraica_017$

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

$fraccion_algebraica_018$

Simplificamos antes de efectuar el producto:

$fraccion_algebraica_019$

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

$fraccion_algebraica_020$

Ejemplos desarrollados

a) $fraccion_algebraica_021$

b) $fraccion_algebraica_022$

c) $fraccion_algebraica_023$

Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la Factorización de productos notables

Cociente o división de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos, ahora qué significa esto:

Sea $fraccion_algebraica_014$ una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra $fraccion_algebraica_015$ , entonces:

$fraccion_algebraica_024$

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas

Dividir

$fraccion_algebraica_025$

Anotamos haciendo el producto cruzado:

$fraccion_algebraica_026$

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

$fraccion_algebraica_027$

Ejemplos desarrollados

a) $fraccion_algebraica_028$

b) $fraccion_algebraica_029$

c) $fraccion_algebraica_030$

Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).

d) $fraccion_algebraica_031$

Fracciones algebraicas compuestas

En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas.

Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.

La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.

Ejemplos:

1) $fraccion_algebraica_032$

2) $fraccion_algebraica_033$

3) $fraccion_algebraica_034$

Matemáticas de Sexto a Noveno

domingo, 19 de agosto de 2012

Factorización :

Caso I - Factor común

Factor común monomio

Factor común polinomio

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Caso VI - Trinomio de la forma x² + bx + c

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n

Caso VIII - Trinomio de la forma ax² + bx + c

Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios

sábado, 11 de agosto de 2012

Operaciones con fracciones algebraicas

Datos personales

domingo, 19 de agosto de 2012

Factorización :

Caso I - Factor común

Factor común monomio

Factor común polinomio

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n

Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios

sábado, 11 de agosto de 2012

Operaciones con fracciones algebraicas

Caso VI - Trinomio de la forma x² + bx + c

Caso VIII - Trinomio de la forma ax² + bx + c