2. Relaciones de  proporcionalidad 

Razón entre dos números

Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.

Entonces:

Razón entre dos números a y b es el cociente entre

es "a" sobre "b"

Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que

Y la razón entre los números 0,15  y  0,3  es

Proporción numérica

Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.

Entonces:

Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Es decir
Se lee “a es a b como c es a d”

Los números 2,  5  y  8,  20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.

Es decir

En la proporción

hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

Así, en la proporción anterior

 se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40

Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:

Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.

Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.

Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

Ejemplo

Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de papas  pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?

Número de sacos	1	2	3	...	26	...
Peso en kg	20	40	60	...	520	...

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20

Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

Observa que

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.

 Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Ejemplo 1

En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?

Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua ycantidad de sal son directamente proporcionales.

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:

Litros de agua	50	x
Gramos de sal	1.300	5.200

Se verifica la proporción:

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:

50 por 5.200 = 1.300 por x

Es decir

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

Ejemplo 2

Un automóvil  gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.

Ejemplo

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto,  las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales).

Formamos la tabla:

Hombres	3	6	9	...	18
Días	24	12	8	...	?

Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72

Por tanto 18 por x = 72

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo.

Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.

Importante: Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá constante.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)

Ejemplo 1

Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?

Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.

X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas	220	450
Nº de días	45	x

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa.

Ejemplo 2

Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?

 

Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x

Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES

Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad

Ejemplo 1: Proporcionalidad directa

Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de campamento?

§         Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales.

§         El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado son directamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la cantidad desconocida, gasto.

SABEMOS QUE		pesos
REDUCCIÓN A LA UNIDAD		pesos
		pesos
		pesos
BÚSQUEDA DEL RESULTADO		pesos

Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa

15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

§         Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

§         Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.

SABEMOS QUE
REDUCCIÓN A LA UNIDAD
BÚSQUEDA DEL RESULTADO

Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33,75 días.

Matemáticas de Séptimo:

Contenido:

1 . Razón 


2. Relaciones de proporcionalidad

3. Amplificar y simplificar fracciones 

4. Ecuaciones 

Geometría:

1. prismas, pirámides y triángulos
2. Áreas de rectángulo y triángulo 
3. Triángulos 


1. Razón : Razón o Relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

 1.- a:b


2.- a ÷ b

3.-  a/b

4.- La razón de a es a b.
Razón de  8 a 4
Si se tiene dos cantidades a y b, se dice “a es a b” y se escribe  .
Al término  “a” le  llamamos antecedente y al término “b” le llamamos consecuente.

Dicha comparación podría indicarse como una razón, en cuatro formas distintas, de este modo:

1.- a:b

Así, la razón de 8 a 4 se puede escribir:

8 : 4

8÷4

De modo general, podemos decir que:  Una razón es un cociente entre dos cantidades. El valor de ese cociente se llama valor de la razón. 

Ejemplo:

Así, en la razón 8 ÷ 4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

Hay que tener presente que las comparaciones por medio de una razón se hacen en unidades del mismo tipo. Por ejemplo, para expresar la relación entre 6 m y 30 cm ambas cantidades deben expresarse en la misma unidad. Entonces, la forma apropiada para esta relación es 600 cm : 30 cm, no 6m: 30 cm.

Ejemplos

1.- Suponga que en un curso hay 13 hombres y 25 mujeres. Entonces “la razón” entre hombres y mujeres del curso es   se lee  “13 es a 25”

 2.- En una caja hay 5 bolas rojas y 7 verdes. La razón entre las bolas verdes y las bolas rojas es ,   se lee  “7 es a 5”

Propiedades de las razones

Como vemos en los ejemplos, debido a que la razón de dos cantidades no es más que una división indicada o una fracción, las propiedades de las razones serán las propiedades de las fracciones o quebrados.

1) Si el antecedente (equivale al numerador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.

2) Si el consecuente (equivale al denominador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda divida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.

3) Si el antecedente y el consecuente de una razón se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.

De acuerdo con estas propiedades, los términos pueden reducirse o aumentarse, simplificar se, etcétera.

Por ejemplo, para reducir la razón 15 : 20 a los términos de menor valor se escribe la razón como una fracción y luego se procede como éstas.

Entonces, 15 : 20 se transforma  en

Y se lee 15 es a 20 como 3 es a 4.

Por tanto, la razón de 15:20 es la misma que la razón de 3:4.

Razón inversa

Con frecuencia es útil comparar los números de una razón en el orden inverso. Para hacer esto simplemente intercambiamos el numerador y el denominador. Entonces, la inversa de 15:20 es 20:15.

Cuando los términos de una razón se intercambian resulta una razón inversa.

Practicar con razones

Escriba las siguientes  razones como una fracción y reduzca a los términos de menor valor.

1.- La razón de 5 kg a 15 kg

2.- $ 16  : $12

3.- 16 ÷ 4

4.- 1 mililitro a 1 centílitro

5.- 5x a 10x

6.-

Escriba la inversa de las siguientes razones:

7.- La razón de 6m a 18 m

8.-

9.- 5 : 8

10.- 15 a 21

11. Hallar la razón de:

a) 60 y 12

b)

c) 5:6 y 3:5

d) 3/8 y 0,02

12. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años.

13. Cite tres pares de números que estén en la relación de 2 y 3.

14. Cite tres pares de números cuya razón sea .
15. Cite tres pares de números cuya relación sea de 1 a 6.

16. La razón de dos números es . Si el menor es 20, ¿Cuál es el mayor?
17. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos es de 5 a 7. Hallar el número menor.

18. Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor? 

Respuestas

Proporción:

Íntimamente ligado al estudio de las razones está el tema de la proporción 

Una proporción no es más que una ecuación en la cual los miembros son razones. En otras palabras, cuando dos razones se igualan una a otra se forma una proporción.

La proporción podrá escribirse en tres formas diferentes:

15 : 20 : : 3 : 4

15 : 20 = 3 : 4

Las dos últimas formas son las más comunes. Todas estas formas se leen "15 es a 20 como 3 es a 4", En otras palabras, 15 tiene la misma relación con 20 que 3 la tiene con 4.

Un aspecto de la extrema importancia de las proporciones es que si se dan tres términos el cuarto podrá determinarse resolviendo una simple ecuación.

Es evidente, de la observación de la última forma, ,  que una proporción es una ecuación fraccionaria. Por tanto, todas las reglas para las ecuaciones fraccionarias (en Q )e aplican aquí.