Matemáticas de Sexto a Noveno: agosto 2012

miércoles, 29 de agosto de 2012

Volumen:El volumen es el espacio que ocupan los cuerpos.

Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen tres dimensiones (ancho, alto y largo) limitados por una o más superficies. Si todas las superficies son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Si el cuerpo no está limitado por polígonos, sino por superficies curvadas recibe el nombre de cuerpos redondos.

La fórmula para calcular el volumen de un cuerpo depende de su forma.

Para medir el volumen de un cuerpo se utilizan unidades cúbicas, que son: milímetro cúbico, centímetro cúbico, decímetro cúbico y metro cúbico

mm³, cm³, dm³, m³

Para determinar el volumen de los cuerpos geométricos se debe tener en cuenta lo siguiente:

1.- El volumen de un cubo es igual al cubo de uno de sus lados, esto se expresa como:

V = l³

2.- El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura, esto se expresa como:

V = Bh

3.- El volumen de un cilindro es igual al producto de p por el cuadrado del radio por la altura, esto se expresa como:

V = Π r² h

4.- El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la altura, lo cual se expresa como:

V = B h ÷ (dividido o partido por) 3

5.- El volumen del cono es igual a la tercera parte del producto de pi por el cuadrado del radio por la altura, lo cual se expresa como:

Π r² h ÷ (dividido o partido por) 3

Con base en lo anterior se pueden resolver problemas que impliquen determinar el volumen de algún cuerpo geométrico.

1. La altura de un prisma pentagonal es de 20 cm y sus bases miden 16 cm por lado y 11 cm de apotema, ¿cuál es su volumen?

Los datos con los que se cuenta son:

longitud de los lados = 16 cm

longitud del apotema (a) = 11 cm

altura del prisma = 20 cm

Primero se procede a determinar el área de la base (B):

El perímetro (P) se halla multiplicando la longitud de uno de los lados por cinco, ya que se trata de un pentágono.

Sustituyendo valores se tiene:

Una vez que se tiene el área de la base, se determina el volumen de este prisma con la fórmula V = Bh

Sustituyendo valores se tiene:

V = 440 cm² ( 20 cm ) = 8.800 cm³

Esto indica que el volumen de este prisma pentagonal es de 8.800 cm³.

2. Si la base de una pirámide rectangular tiene por dimensiones 10 dm de largo y 8 dm de ancho, y la altura de la pirámide es de 15 dm, ¿cuál es su volumen?

Los datos con que se cuenta son:

largo de la base = 10 dm

ancho de la base = 8 dm

altura de la pirámide = 15 dm

Se determina el área de la base (B):

B = largo x ancho

Sustituyendo valores:

B = 10 dm (8 dm) = 80 dm²

Se aplica la fórmula para calcular el volumen de una pirámide:

Sustituyendo valores:

V = 80 dm² (15 dm) = 1.200 dm³

El volumen de esta pirámide rectangular es de 1.200 dm³; con base en lo anterior se concluye que:

El volumen de los prismas y las pirámides se determina aplicando fórmulas, en las cuales se relaciona su longitud, altura y anchura, mientras que en el cilindro y el cono se relacionan el radio y la altura.

Volumen de una esfera

En el caso de una esfera (cuerpo limitado por una superficie esférica, es decir, es la superficie que se crea cuando una semicircunferencia gira en torno a su diámetro) el volumen se calcula usando la siguiente fórmula:

Volumen esfera : 4 / 3 · p · R³

p = 3,1415...

R = Radio

Ejemplo: Si el radio de una circunferencia es de 4 cm . ¿Cuál será su volumen?

V = 4 / 3 · 3.1415.. · ( 4 )³

V = 4 / 3 · 3,1415..· 64

V = 804,24772.

V = 268,08 cm³

El diámetro corresponde a la medida de dos radios y es el segmento de mayor longitud que gira dentro de la circunferencia.

martes, 21 de agosto de 2012

Regularidades Numéricas:En la vida cotidiana se nos presentan muchas situaciones donde aparecen regularidades numéricas o secuencias numéricas (también puede ser secuencia de objetos de forma ordenada).

Para nuestro interés en ejercitar las destrezas matemáticas, la primera y más importante secuencia numérica es la de los números naturales, o sea los números que se utilizan para contar y ordenar objetos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Esta secuencia de los números naturales es la más importante ya que sirve de base para iniciar, siempre desde el 1 (o primer lugar), cualquier otra secuencia dada, pues, como veremos luego, la ubicación en una secuencia es trascendental para los cálculos numéricos (ya se entenderá cuando hablemos de n).

Veamos otros ejemplos de secuencias numéricas:

• Secuencia de números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

• Secuencia de números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

• Secuencia de múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 26, ...

• Secuencia de cuadrados de los números naturales: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

• Secuencia de cubos de los números naturales: 1, 8, 27, 64, 125, ...

• Secuencia de potencias de 2: 2, 4, 8, 16, 32, ...

Estas secuencias numéricas se denominan sucesiones.

Entonces:

Una sucesión de números reales es una secuencia ordenada de números reales que sigue una determinada ley de formación.

Los números que forman la sucesión se denominan términos. Todas las sucesiones tienen un primer término y cada término tiene un siguiente. Las sucesiones se nombran con una letra y un subíndice (n) cuyo valor depende del lugar que el término ocupa en la sucesión (ese valor empieza siempre en 1, y sigue 2, 3 ,4 ,5, 6, 7, etcétera):

De este modo: a₁, a₂, a₃, a₄, ...

Término general

El término general de una sucesión es una expresión (fórmula o patrón o regla) que permite conocer el valor de cualquiera de los términos en función del lugar que ocupa. Se expresa mediante a_n.

Ejemplo: Si el término general de una sucesión es

a_n = n² + 1

Para obtener un término cualquiera, se sustituye n por el valor del lugar que ocupa el término en la sucesión. Así, a modo de ejemplo, el tercer término será:

            a₃ = 3² + 1 = 9 + 1 = 10

Así, por ejemplo, la serie 1, 3, 5, 7, . . . son los números definidos por la fórmula 2_n – 1, pues si n es reemplazado por los números naturales, 1, 2, 3, 4, . . . se genera la serie dada.

El siguiente cuadro sirve para comprobar lo anterior:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	. . .	100	. . .	k
2_n - 1	1	3	5	7	9	11	13	15	17		199

Si se desea saber el número de la serie que ocupa la décima posición se reemplaza n = 10 en la fórmula 2_n – 1.

(2 • 10) − 1 = 19

Nota importante

Tener en cuenta que la expresión 2_n – 1 no es lo mismo que la expresión 2n – 1

Otro ejemplo. Completa la tabla con la serie numérica que genera la fórmula 4_n + 3.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	. . .	100	. . .	k
4n + 3	7	11	15	19	23	27	31

Determinación de la fórmula

Hasta aquí hemos mostrado ejemplos o ejercicios con la fórmula ya establecida o determinada (2_n – 1 y 4_n + 3).

En los ejercicios de regularidades numéricas se trata de encontrar la fórmula (patrón o regla) de formación de una sucesión.

Veamos, como ejemplo 1, el siguiente caso, que se da en un contexto geométrico:

¿Cuántos palitos de fósforos se necesitan para llegar a formar la figura 23 en esta sucesión?

Para saber cuantos fósforos necesitamos

Figura	1	2	3	4	5	6	7	8	9	. . .	100	. . .	n
Fósforos usados	3	5	7

Y completarlo, sumando 2 fósforos cada vez, hasta llegar al espacio Figura 23.

Pero no es necesario completar el cuadro para saber cuántos fósforos necesitamos para armar la figura 23. Para ello debemos determinar la fórmula general que nos dará la respuesta de inmediato.

Analicemos:

Para armar la figura 1 se necesitan 3 fósforos, pero 3 = 2 • 1 + 1

Para armar la figura 2 se necesitan 5 fósforos, pero 5 = 2 • 2 + 1

Para armar la figura 3 se necesitan 7 fósforos, pero 7 = 2 • 3 + 1

Como vemos, el término general es 2_n donde el 2 indica el número de fósforos que debe agregarse cada vez que se avanza en la construcción de las figuras y la n indica (empezando desde la 1) el número de la figura, todo eso más 1; por lo tanto, la fórmula o patrón está dada por 2_n + 1.

Conocida esta fórmula 2_n + 1 reemplazamos simplemente la n por el 23 y sabemos de inmediato que

(2 • 23) +1 nos da 46 + 1 = 47

Por lo tanto, para la figura 23 se necesitarán 47 fósforos.

Ejemplo 2.

Determina la fórmula que genera la serie numérica de la cantidad de fósforos utilizados para construir la figura formada por un número dado de cuadrados, como se muestra en las figuras

Veamos:

*Nº de cuadrados*	1	2	3	4	5	6	7	*. . .*	n
Nº de fósforos	4	7	10	13

Para armar el cuadrado 1 se necesitan 4 fósforos, pero 4 = 3 • 1 + 1

Para armar el cuadrado 2 se necesitan 7 fósforos, pero 7 = 3 • 2 + 1

Para armar el cuadrado 3 se necesitan 10 fósforos, pero 10 = 3 • 3 + 1

Para armar el cuadrado 4 se necesitan 13 fósforos, pero 13 = 3 • 4 + 1

Partiendo desde el cuadrado 1 necesitamos 3 fósforos cada vez para armar el siguiente, por lo tanto, el término general será 3_n + 1

Ejemplo 3

El ejercicio de regularidad numérica puede estar dado solo mediante relaciones numéricas, como en el siguiente ejemplo:

Dadas las siguientes igualdades:

3² = 1² + 4 • 1 + 4

4² = 2² + 4 • 2 + 4

Entonces 100² será = a: ¿?

Según estas igualdades, cada base de la potencia cuadrática de la derecha tiene 2 unidades menos que cada base de la potencia cuadrática de la izquierda, por lo tanto, nuestro resultado debe empezar con 98² (obtenido haciendo 100 – 2); a continuación viene la multiplicación de 4 con el mismo número obtenido anteriormente (es decir: 4 • 98) y finalmente le agregamos el número 4, por lo tanto:

100² = 98² + 4 • 98 + 4

domingo, 19 de agosto de 2012

Factorización :

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

$ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,$

$ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \,$ y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

$5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,$

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

$(5x^2 + 3x +7) \,$

La respuesta es:

$(5x^2+3x+7)(x-y) \,$

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

$5a^2(3a+b) +3a +b \,$

Se puede utilizar como:

$5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,$

Entonces la respuesta es:

$(3a+b) (5a^2+1) \,$

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

$2y + 2j +3xy + 3xj\,$

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

$= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,$

Aplicamos el caso I (Factor común)

$= 2(y+j)+3x(y+j)\,$

$= (2+3x)(y+j)\,$

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,$

Ejemplo 1:

$(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,$

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

$(ay)^2-(bx)^2= (ay-bx)(ay+bx)\,$

O en una forma más general para exponentes pares:

$(ay)^{2n}-(bx)^{2m}= ((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m)\,$

Y utilizando una productora podemos definir una Factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

$(ay)^n-(bx)^m= ((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})\cdot \prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}}) \,$

Ejemplo 1:

$9y^2-4x^2= (3y)^2-(2x)^2= (3y+2x)(3y-2x)\,$

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

$x^2+xy+y^2=x^2+xy+y^2+(xy-xy)=x^2+2xy+y^2-xy=(x+y)^2-xy\,$

Caso VI - Trinomio de la forma x² + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

$a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,$

Ejemplo:

$x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)\,$

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-... + xy^{n-2}-y^{n-1}) \,$

Ejemplo:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \,$

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

$x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2 +... +xy^{n-2}+y^{n-1}) \,$

Ejemplo:

$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \,$

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \,$

Caso VIII - Trinomio de la forma ax² + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

$4x^2+12x+9\,$

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término(4x²) :

$4x^2+12x+(9\cdot4)\$

$4x^2+12x+36\,$

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

$6\cdot6=36$

$6+6=12\,$

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

$(4x+6)(4x+6)\,$